Eenvoud is het kenmerk van het ware.

Bezoek ook eens:

Revisie: 31-01-2016.

Structuren

Fibonacci.

De reeks.

In het artikel over de ananas hebben we een reeks getallen gevonden: 5, 8 en 13. Dat zijn een paar getallen uit de reeks van Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, enzovoort.

Eigenlijk is die reeks iets anders: het zijn breuken: de teller is de noemer van de vorige en de noemer is de som van teller en noemer van de vorige. Het eerste getal is 1/1, de tweede is ook 1/1, de derde is dus 1/2, de volgende 2/3, enzovoort.
Maar voor het gemak houden we het op normale getallen, waarbij elk getal steeds de som is van de vorige twee.

Deel een getal uit de reeks door het ervoor staande getal en het levert een benadering op van 1,618033989 en daarachter nog oneindig veel meer cijfers met een herhaling vanaf het 60ste cijfer achter de komma. Deze verhouding tussen die getallen is steeds ongeveer 1,618 en wordt het getal phi(Φ) genoemd.

Phi of fi.

Phi Verwar phi niet met de letter pi(Π) die onder andere gebruikt wordt voor het berekenen van omtrekken en oppervlaktes van cirkels. Pi(Π) heeft een waarde van 3,141592654 en nog oneindig veel meer niet herhalende cijfers achter de komma.


Phi heeft nog meer bijzonderheden in zich, waarvan de voornaamste wel is dat de reciproke waarde (1/Φ) gelijk is aan Φ-1. Het is het enige getal waarvoor dit geldt!.

Als we dit eens in een formule vertalen: 1/Φ=Φ-1.

Vereenvoudigd is dit: Φ2-Φ-1=0, dit is een vierkantsvergelijking.

Herinnering: de oplossing van een vierkantsvergelijking is:

x=(-b ± √(b2 - 4ac)) / 2.

Los hiermee Φ op: Φ=(1±√5)/2 en dit is dan weer het getal dat we eerder zagen: 1,618033989 voor de positieve en 0,618033989 voor de negatieve wortel.

De reciproke waarde(1/Φ) is 0,618033989.

Probeersel

Schrijf eens twee willekeurige getallen op en maak er een reeks van zoals hierboven beschreven voor de reeks van Fibonacci: een getal is steeds de som van de voorgaande 2 getallen.

Bijvoorbeeld: 27 en 3, samen 30, 30+3=33, 33+30=63, 63+33=96, 159, 255, 414, 669. Deel nu eens de laatste 2 door elkaar: 669/414=1,61594. Dat lijkt al heel aardig op Φ!

Hoe langer deze reeks, hoe dichter de verhouding bij Φ komt, ook al is het niet de reeks van Fibonacci.

Die verhouding van het getal Φ komt heel veel voor in de natuur: zonnebloemen, lupinen, dahlia's, bladstanden, enzovoort, enzovoort. In het artikel over de spiralen en over de "Gulden snede" lees je ook over dit getal.

Een tekenmodel.

Tenslotte een model dat sprekend lijkt op de reeks van Fibonacci, alleen is het een tekenmodel in plaats van een cirkelvormige grafiek met poolcoordinaten. Ik heb deze spiraal gemaakt door een heel klein vierkantje te tekenen (1 pixel), rechts ernaast een even groot vierkantje, daarboven een vierkantje van 2x2, rechts een van 3x3, daaronder 5x5, enzovoort. Zo steeds verder rondgaand. De hoekpunten van al die vierkantjes heb ik met een kromme lijn verbonden.

In de afbeelding hieronder is dit weergegeven: Spiraal met vierkantjes

Het middelste vierkantje is 1x1, daarnaast ook 1x1, dan 2x2, 3x3, 5x5, 8x8, enzovoort.
Dit is ook weer de reeks van Fibonacci omdat de afmeting van elk vierkantje de som is van de vorige 2.


Wat kunnen getallen toch wonderlijk zijn!

Text Top