Eenvoud is het kenmerk van het ware.

Bezoek ook eens:

Nieuw: 10-11-2012.

Structuren

Spiralen

Overal en altijd zijn er spiralen te zien, denk aan draaikolken, slakkenhuizen, dennenappels, lagedruk gebieden, windhozen, zonnebloemen en melkwegstelsels.

Spiraalnevels M51

In de afbeelding hiernaast het Messier M51b melkwegstelsel. Dit is het bekendste melkwegstelsel en het is met een sterke kijker te zien. Het bijzondere is dat het twee stelsels zijn, de spiraal is een twee-armig melkwegstelsel, de witte vlek rechts is een ander melkwegstelsel, maar dan van opzij gezien, de Messier M51b.

Spiralen ontstaan door beweging van bijvoorbeeld water, lucht en zelfs sterren, of het zijn groeiverschijnselen zoals bij zonnebloemen en slakkenhuisjes.

Bij de bewegingen zijn het deeltjes die naar 1 punt bewegen maar door massa traagheid net het doel niet in 1 keer bereiken en er dan in steeds kleiner wordende spiralen naartoe bewegen. Vaak verlopen deze spiralen volgens een logaritmische kromme.

Bij de groei ontstaan de spiralen doordat niet alleen de lengte groeit maar ook de dikte. Bij slakkenhuisjes goed begrijpbaar, maar ook groei van planten vertoont dit omdat de zaden of bladen het meest rendementvol gerangschikt zijn in de verhouding van 1:1,61803398...... (het getal phi).
Zie ook het artikeltje over de ananas.

Slakkenhuisje

Als voorbeeld hier een slakkenhuisje met heel duidelijk een spiraal. Bij dit uitbouwen gaat de slak steeds rondom het deel dat al gebouwd is.

Omdat de slak niet alleen in de lengte maar ook in de dikte groeit wordt de spiraal steeds wijder.

Er wordt wel beweerd dat dit groeipatroon volgens hetzelfde principe gaat dat we gezien hebben bij de ananas, maar bij goed nameten blijkt dat niet te kloppen.

Er zijn trouwens heel veel soorten slakkenhuisjes, zowel links- als rechtsom draaiend, met een tamelijke platte groeiwijze of heel erg spits. En ook zelfs waarbij de groeiringen niet aan elkaar vast zitten.

Er zijn diverse soorten spiralen, zoals:

Aan de slag.

Een spiraal met even brede banen is eenvoudig zelf te tekenen met wat kleine hulpmiddeltjes: Maak aan een draadje aan de ene kant een kurk vast en aan de andere kant een potlood; hou de kurk midden op een blad papier vast; teken met het potlood met het gestrekte draadje een lijn rondom de kurk.

Zo ontstaat een spiraal die steeds kleiner wordt en met even grote afstanden tussen de banen. De afstanden tussen de banen is gelijk aan de omtrek van de kurk.

Liever een spiraal met kleinere afstanden? Gebruik dan een potlood in plaats van een kurk.

Een spiraal in een grasveld kun je maken door een lang touw om de boom te binden die midden op het grasveld staat. Aan het einde van het touw de grasmaaier. Starten en maaien maar: een prachtige geschoren spiraal.

Wat achtergronden bij spiralen.

Een spiraal is eigenlijk niets anders dan een gewone x-y grafiek, waarbij de x-as niet recht maar cirkelvormig is.

De formule voor een rechte grafiek is y=a·f(x), waarin f alle mogelijke functies kunnen zijn, zoals vermenigvuldiging, een macht, een wortel, een complexere berekening, enzovoort. Terwijl a een schaalfactor is.

Grafiek

In de grafiek is een logaritmische functie getekend: y=ex/600 of x=600·ln(y).

Bij een cirkelvormige grafiek spreken we van poolcoordinaten en dan gaat de formule over in: r=a·f(Θ), hierin zijn:

Poolcoordinaten

Een aantal spiralen.

Lineaire spiraal

Een gewone of lineaire spiraal met allemaal gelijke afstanden tussen de "ringen", ook wel Archimedes spiraal genoemd, kan beschreven worden als: r=aΘ, waarin a de afstand tussen de "ringen" is. Dit is de spiraal die we hierboven zelf getekend hebben met het touwtje. Bij een positieve waarde van a en bij een toenemende hoek begint een lineaire spiraal in het centrum en wordt steeds groter tot oneindig (∞) toe.


De spiraal die we hierboven met het touwtje getekend hebben is een lineaire spiraal die eigenlijk ook vanaf 0 begint en steeds groter wordt, maar omdat we met een gestrekt koordje zijn begonnen tekenen we van buiten naar binnen.

Bij een kwadratische spiraal geldt: r=aΘ2+bΘ+c, of heel kort: r=aΘ2. Een kwadratische spiraal is een vorm van de exponentiele spiraal: r=aΘb.

Kwadratische spiraal

Een kwadratische spiraal is een opgerolde parabool: hij loopt van oneindig tot het toppunt en weer door naar oneindig. De beide "delen" (van oneindig tot het toppunt) zijn gespiegeld ten opzicht van elkaar. Hier is dus alleen 1 paraboolhelft getekend.


Een hyperbolische spiraal, zoals in de figuur hieronder, heeft als basisformule: r=a/Θ.

In deze figuur heeft a een waarde van 1800, dus r=1800/Θ. Deze spiraal begint in het oneindige als Θ=0 en het nadert tot 0 als Θ=∞.

Hyperbolische spiraal

In deze grafiek is niet tot Θ=∞ getekend, daarom eindigt hij niet in het centrum.

Een logaritmische spraal heeft als basisformule: r=eΘ/a, hierin is e het grondtal van de natuurlijke logaritme (e=2,718281828459...). Deze functie als logaritme geschreven is: Θ=a·ln(r)·

In de grafiek helemaal in het begin is deze spiraal als "gewone" grafiek getekend. De gebruikte formule was y=ex/600 of x=600·ln(y).

Logaritmische spiraal

Een speciale spiraal is gebaseerd op de getallenreeks van Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, enzovoort. Het maakt voor de vorm niet uit of ik de reeks getallen door een vaste waarde deel om meer "ringen" te krijgen en ook maakt het niet uit hoe de getallen over de cirkel verdeeld worden, de vorm blijft steeds gelijk en de verhouding tussen gelijksoortige delen van de spiraal is steeds het getal phi.

Fibonacci spiraal

Word je er niet duizelig van?

Text Top