Eenvoud is het kenmerk van het ware.

Bezoek ook eens:

Revisie: 31-01-2016.

Structuur

Talstelsels.

Inleiding.

Bij het tellen is het gebruik van de vingers van beide handen het meest voor de hand liggend en omdat we daaraan 10 vingers hebben tellen we van 1 tot en met 10. Alle andere getallen zijn van die 10 tellen afgeleid.

Tellen heeft te maken met echte "dingen": vingers, appels, kralen, koeien, enzovoort. En ook met cijfertjes om alles wat we tellen te kunnen opschrijven.

Bij rekenen heeft tellen geen betekenis meer en is in bijna alle gevallen zinloos. Alleen de cijfertjes als symbooltjes hebben betekenis.

Stel je een getallenlijn voor: links de negatieve getallen, in het midden de 0 en rechts de positieve getallen. Wijs het cijfer 2 aan, ga 3 naar links, dus voorbij de 0 en ga dan weer 5 naar rechts. Je vinger staat nu bij de 4, in formule: 2-3+5=4. Dit heeft niets meer met tellen te maken, dit is rekenen. Dit is gebruik maken van de waardes van de getalletjes.

In de rest van dit verhaal gaat het alleen maar over de getallen, dus de getallenlijn en niet over tellen.

Tellen en getallenlijn.

Een tabelletje: op de eerste rij alle getallen van 0 tot en met 9, daaronder 10 tot en met 19, nog een rij lager 20 tot en met 29, enzovoort. Dit is een soort in stukjes geknipte getallenlijn met allemaal strookjes van 10 getallen onder elkaar.

01234 56789
1011121314 1516171819
2021222324 2526272829
3031323334 3536373839
4041424344 4546474849

Telkens als er bij het laatste getal, dus 9, 19, 29, enzovoort er 1 wordt opgeteld gaan we naar het eerste getal van het volgende "strookje".

Tientallig.

Het hierboven beschreven stelsel van getallen heet het tientallige talstelsel of officieel het decimale talstelsel omdat er 10 aparte cijfertjes nodig zijn om alles te kunnen noteren: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, en 9.
In het tabelletje staan de eerste rijen van het tientallige talstelsel.

Nu even een willekeurig getal, bijvoorbeeld 357. Als een optelsom geschreven staat hier:

7×1 + 5×10 + 3×100

Of van rechts naar links in machten van 10:
7×100 + 5×101 + 3×102

In woorden: de plaats van het cijfer is de exponent van het grondtal, in dit geval dus de exponent van het grondtal 10.

Het is wel belangrijk om dit alles even opnieuw binnen te krijgen voor we aan de volgende talstels beginnen.

Achttallig.

Stel dat we maar 8 cijfertjes hebben om onze getallenlijn op te bouwen: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 en 7.
De cijfers 8 en 9 komen daarin niet voor.

Een vergelijkbaar tabelletje zoals hierboven wordt dan:

01234 567
1011121314 151617
2021222324 252627
3031323334 353637
4041424344 454647

Dit talstelsel noemen we het achttallige stelsel of officieel: het octale talstelsel, omdat er 8 cijfertjes nodig zijn om alles op te kunnen schrijven.

Maar let goed op: de strookjes uit de getallenlijn zijn steeds 2 cijfertjes korter, dus de betekenis van 10 is 2 minder dan in het decimale stelsel!!!!

Een voorbeeld met hetzelfde willekeurige getal van hierboven wordt als som uitgeschreven:

3578 = 7×80 + 5×81 + 3×82 = 7 + 40 + 192 = 23910

Let op de schrijfwijze van 3578: het cijfertje rechts-onder de 7 betekent dat dit een octaal getal is. Er zijn meer manieren om dit aan te geven, zoals een %-teken voor het getal, maar belangrijk is het onderscheid omdat aan dit getal anders niet te zien is dat het een ander grondtal heeft.
Het getalletje 10 rechts-onder de 9 is overbodig en zal verder dus niet gebruikt worden.

Vroeger in de begintijd van de computers in de jaren '60 werd dit talstelsel veel gebruikt. Elke programmeur kon ermee rekenen: vermenigvuldigen, optellen en aftrekken bijvoorbeeld. Met de huidige zakrekenaars en smartphones hoeft dat niet meer (gelukkig?). Overigens werken de tegenwoordige programmeurs liever met het hexadecimale talstelsel, maar daarover straks meer.

Tweetallig.

Maar het kan nog minder! Stel dat je maar 2 cijfertjes hebt om te tellen, dus een 0 en een 1. Zo gauw je bij die ene 1 er 1 bij optelt wordt het 10, want een 2 bestaat niet. En bij 11 er 1 optellen wordt dan 100

In onderstaand tabelletje staan de eerste binaire getallen genoteerd:

01
1011
100101
110111

Net zoals bij het octale stelsel is de decimale waarde te berekenen. Bijvoorbeeld de decimale waarde van het binaire getal 11012 is:

11012 = 1×20 + 0×21 + 1×22 + 1×23 = 1 + 0 + 4 + 8 = 13.

Zestientallig.

Een talstelsel met een grondtal groter dan 10 kan ook, bijvoorbeeld 12-tallig of het heel veel gebruikte 16-tallige stelsel.

Ik beperk me hier tot het zestientallige of hexadecimale talstelsel. Aan de bekende cijfers 0 t/m 9 zijn er 6 nieuwe "cijfers" toegevoegd: de eerste 6 letters van het gewone alfabet: a, b, c, d, e en f als volgt:

01234567 89abcdef
1011121314151617 18191a1b1c1d1e1f
2021222324252627 28292a2b2c2d2e2f

De "cijfers" a, b, c, d, e en f hebben de decimale waarden 10, 11, 12, 13, 14 en 15.
Ook nu even een omzetting naar decimaal, bijvoorbeeld het getal 1ae16:

e×160 + a×161 + 1×162 = 14×160 + 10×161 + 1×162 = 14 + 160 + 256 = 430

Bij de binaire en octale getallen stonden er een 2 en een 8 achter het laatste cijfer van het getal. Bij hexadecimaal zou er op dezelfde manier een 16 kunnen staan, maar dat komt de leesbaarheid niet ten goede. Meestal staat er een # voor het getal om aan te geven dat het een hexadecimaal getal is. Het hierboven gebruikte getal 1ae16 wordt dan #1ae.

Een voorbeeld van een hexadecimaal getal is de Wifi-code die je moet invoeren bij de Wifi hotspots.

Bits en Bytes

Tot zover de talstelsels, maar waarvoor worden met name het binaire, octale en hexadecimale stelsel gebruikt?

Een computer is een "dom" ding dat alleen maar tot 1 kan tellen, bijvoorbeeld een lampje is aan of niet aan. Binnen in het diepste van elke computer, TV, tablet, fototoestel en de smartphone zit zo'n zenuwcentrum dat alleen maar "ja" of "nee" kent, maar dan wel heel erg veel "ja's" en "nee's". Als we die "ja" even opschrijven als 1 en de "nee" als 0 dan heb je dus een binair stelsel.

Zo'n "ja"-"nee" knikker wordt een bit genoemd. Een bit kan dus alleen de waarden 0 en 1 hebben.

Maar nu even in heel erg grote stappen: alle bewerkingen in de computer zijn op te splitsen in alleen maar 1-en en 0-en. Zet 8 van die bits op een rij, dan spreekt men van een byte.
De grootste decimale waarde van 1 byte is:

1×20 + 1×21 + 1×22 + 1×23 + 1×24 + 1×25 + 1×26 + 1×27 = 255.

En nog even doorkauwen:
255 = 256 - 1 = 162 - 1 = #100 - 1 = #ff.

Een practisch voorbeeld: Bij een foto in je pc of smartphone staat een grootte vermeld van 4 Mb. Dat betekent dat er 4 miljoen bytes (dus 32 miljoen bits) nodig zijn om alle details in je foto op te slaan.
En de grootte van de processor van je tablet is bijvoorbeeld 8Gb, dat betekent 8x1000.000.000 bytes om alle bewerkingen uit te voeren, zoals een foto bewerken, een document lezen of om een webpagina te openen.

Programmeurs en andere computerkenners werken veel met binaire, octale en vooral hexadecimale getallen.
Zij hebben het dan ook nog vaak over "woorden" en bedoelen daarmee 2 of 4 bytes achter elkaar, dus 16 of 32 bits, omdat de tegenwoordige computer niet meer uit bytes is opgebouwd.

Kleuren.

Wie zelf foto's bewerkt zal ongetwijfeld wel eens de kleuren moeten instellen. Maar wat zijn die kleuren eigenlijk?

Een Led-TV, smartphone, computer display, enzovoort, is opgebouwd uit heel kleine lichtpuntjes of pixels. Elke pixel bestaat uit 3 LED's: rood, groen en blauw. Als elke LED maximaal licht geeft dan geven ze met z'n drieën wit licht. Wie wel eens een "mood-licht", zo'n in kleur veranderende lichtbol, van dichtbij heeft bekeken zal ongetwijfeld de drie Led's gezien hebben.

Om elke Led aan te sturen wordt er 1 byte gebruikt, waarbij maximaal licht allemaal 1-tjes heeft en geen licht alleen 0-en. En een byte met allemaal 1-en heeft een getalwaarde van 255 of hexadecimaal #ff, zoals we hierboven hebben gezien. Dus daarom vraagt de fotobewerkingssoftware naar getalwaarden van 0 tot en met 255 (of 0 t/m #ff) voor 3 de kleuren apart.

Ook de pixels van een camera zijn in principe zo opgebouwd. Maar om ruimte te besparen zijn er rekentruc's toegepast om niet al die informatie op het geheugenkaartje op te slaan.
Een foto van bijvoorbeeld een 5Mp camera zou dus 15Mb bestanden moeten geven, maar door deze "compressie"-techniek wordt dit beperkt tot minder dan een-derde. En ja, dat gaat ten koste van de kwaliteit van de foto. De wat "echtere" camera's kunnen de foto's ook opslaan in .wav formaat, waarbij er veel minder informatie verloren gaat.

Gekleurd vlakje

De ontwerpers van web pagina's zullen ook de kleuren moeten instellen. Zij gebruiken daarvoor een 6-cijferige hexadecimale notatie, bijvoorbeeld:

"border-bottom: 1px solid #4d96fb;"
Dit betekent dat er ergens onderin een lijntje van 1 pixel dikte staat met een fris licht-blauwe kleur. (zie het kleine blauwe vlakje)
Ofwel #4d rood is weinig rood, #96 groen is half-groen en #fb blauw is vrij veel blauw.


Ik dacht dat ik tot 10 kon tellen....

Text Top